Nela Kuburović rođena je 7. aprila 1982. godine u Sarajevu, odakle se kao dijete odselila u Beograd, u kojem završava osnovnu školu i gimnaziju te Pravni fakultet kao jedna od najboljih studentica.
Tokom studija prava pohađala je nastavu u okviru programa Pravna klinika, a stipendirala ju je srbijanska vlada. Nakon završenog Pravnog fakulteta upisuje postdiplomski studij ekonomskog prava, a istodobno volontira na beogradskom Prvom opštinskom sudu.
Poslije položenog pravosudnog ispita 2008. godine buduća ministrica postaje sudski pomoćnik na sudu na kojem je volontirala, a iste godine postaje i savjetnica za pružanje stručne pomoći Visokom sudbenom vijeću pri ministarstvu pravosuđa.
Već iduće godine imenovana je za stručnu savjetnicu pri Visokom vijeću sudstva i Državnom vijeću tužitelja, a nedugo zatim postaje i savjetnica za pravne poslove u Sektoru za normativne poslove u Administrativnoj kancelariji Visokog sudbenog vijeća.
Ambiciozna pravna stručnjakinja u decembru 2012. godine sudjeluje i u radu Komisije za odlučivanje o prigovoru sudskih pomoćnika na rješenje predsjednika suda o ocjenjivanju, a godinu kasnije imenovana je za načelnicu Odjela za statusna pitanja sudaca u Administrativnoj kancelariji Visokog sudbenog vijeća.
Nakon položenog javnobilježničkog ispita Nela Kuburović odlazi početkom 2014. godine na praksu u Visoko sudsko i tužiteljsko vijeće Bosne i Hercegovine, a pola godine kasnije postavljena je za pomoćnika ministra pravosuđa u Sektoru za pravosuđe, da bi mjesec dana poslije preuzela funkciju pomoćnika ministra u spomenutom sektoru.
Kuburović je, također, predstavljala Srbiju u Evropskoj komisiji za efikasnost pravosuđa, za što 2015. godine dobiva priznanje za doprinos reformama i provođenju zakona u Srbiji.
Tokom 2016. godine postaje članicom Komisije za provođenje izvršiteljskog ispita te predsjednica Komisije za provođenje javnobilježničkog ispita, kao i predsjednica Komisije za utvrđivanje disciplinske odgovornosti javnih bilježnika. U augusta iste godine postaje ministrica pravosuđa u drugoj vladi Aleksandra Vučića, zamijenivši Nikolu Selakovića.
Prema ocjeni srbijanskih medija, Nela Kuburović važi za jednu od najatraktivnijih ministrica u srbijanskoj vladi. Aktivno govori engleski, a poznaje i španski jezik. Nije udana niti ima djecu.